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絕密★啟用前 試卷類型：A
2014年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試
本試卷共6頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務(wù)必用0．5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．不按要求填涂的，答案無效．
3．非選擇題必須用0．5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答．漏涂、錯涂、多涂的答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回．
參考公式：
如果事件 互斥，那么 ；
如果事件 相互獨立，那么 ；
若錐體的底面積為 ，高為 ，則錐體的體積為 ．
一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，集合 ．則集合 可表示為
A． B． C． D．
2.復數(shù) 滿足 （其中 為虛數(shù)單位），則 =
A． B． C． D．
3．下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是
A． B． C． D．
4．“ ”是“ 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，則輸出的 的值為
（注：“ ”，即為“ ”或為“ ”．）
A．
B．
C．
D．
6． 的展開式中常數(shù)項為
A． B．
C． D．
7．如圖2，在矩形 內(nèi)：記拋物線 與直線
圍成的區(qū)域為 （圖中陰影部分）．隨機往矩形 內(nèi)投一
點 ，則點 落在區(qū)域 內(nèi)的概率是
A． B．
C． D．
8.在平面直角坐標系中，定義兩點 與 之間的“直角距離”為 ．給出下列命題：
（1）若 ， ，則 的最大值為 ；
（2）若 是圓 上的任意兩點，則 的最大值為 ；
(3) 若 ，點 為直線 上的動點，則 的最小值為 ．
其中為真命題的是
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）(3) D． (2)(3)
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．函數(shù) 的定義域為 ．
10．某幾何體的三視圖如圖3所示，其正視圖是邊長為2的正方形，側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則此幾何體的體積是 ．
11.已知雙曲線 與橢圓 有相同的焦點，
且雙曲線 的漸近線方程為 ，則雙曲線 的方程為 ．
12. 設(shè)實數(shù) 滿足 向量 ， ．若 ，則實數(shù) 的最大值為 ．
13.在數(shù)列 中，已知 ， ，且數(shù)列 是等比數(shù)列，則 ．
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分．
14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），曲線 的極坐標方程為 ．則曲線 與曲線 的交點個數(shù)為________個．
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，已知 是⊙ 的直徑， 是⊙ 的切線，過 作弦 ，若 ， ，則 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 的圖像經(jīng)過點 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
17.（本小題滿分12分）
某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機抽查了該市當天 名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（如圖5（1））：
若網(wǎng)購金額超過 千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”，網(wǎng)購金額不超過 千元的顧客定
義為“非網(wǎng)購達人”，已知“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”人數(shù)比恰好為 ．
（1）試確定 ， ， ， 的值，并補全頻率分布直方圖（如圖5(2)）．
（2）該營銷部門為了進一步了解這 名網(wǎng)友的購物體驗，從“非網(wǎng)購達人”、“網(wǎng)購
達人”中用分層抽樣的方法確定 人，若需從這 人中隨機選取 人進行問卷調(diào)查．設(shè) 為選取的 人中“網(wǎng)購達人”的人數(shù)，求 的分布列和
數(shù)學期望．
18．（本小題滿分14分）
如圖6所示，平面 平面 ，且四邊形 為矩形，四邊形 為直角梯形， ， ， ， ．
（1）求證 平面 ；
（2）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值；
（3）求直線 與平面 所成角的余弦值．
19.（本小題滿分14分）
已知數(shù)列 的前 項和為 ，且滿足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）設(shè) ，數(shù)列 的前 項和為 ，求證： ．
20.（本小題滿分14分）
如圖7，直線 ，拋物線 ，已知點 在拋
物線 上，且拋物線 上的點到直線 的距離的最小值為 ．
（1）求直線 及拋物線 的方程；
（2）過點 的任一直線（不經(jīng)過點 ）與拋物線 交于 、 兩點，直線 與直線 相交于點 ，記直線 ， ， 的斜率分別為 ， ， ．問：是否存在實數(shù) ，使得 ？若存在，試求出 的值；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直線 為曲線 的切線，求實數(shù) 的值；
（3）當 時，設(shè) ，且 ，若不等式 恒成立，求實數(shù) 的最小值．
2014年深圳市高三年級第一次調(diào)研考試
說明：
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．
四、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)．
一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D A D C B A
二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．
9． ； 10． ； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ； 15． ．
三、解答題
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 的圖像經(jīng)過點 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所對的邊分別為 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
解：（1）由題意可得 ，即 ． ……………………………2分
， ， ，
． ……………………………………………………………5分
（2） ，
， ……………………………………………………7分
． …………………………………………8分
由（1）知 ，
．
， ， ……………………………10分
又 ，
．……………12分
【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，以及余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查了簡單的
數(shù)學運算能力．
17．（本小題滿分12分）
某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2013年11月11日在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機抽查了該市當天 名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（如圖5（1））：
若網(wǎng)購金額超過 千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”，網(wǎng)購金額不超過 千元的顧客定
義為“非網(wǎng)購達人”，已知“非網(wǎng)購達人”與“網(wǎng)購達人”人數(shù)比恰好為 ．
（1）試確定 ， ， ， 的值，并補全頻率分布直方圖（如圖5(2)）．
（2）該營銷部門為了進一步了解這 名網(wǎng)友的購物體驗，從“非網(wǎng)購達人”、“網(wǎng)購
達人”中用分層抽樣的方法確定 人，若需從這 人中隨機選取 人進行問卷調(diào)查．設(shè) 為選取的 人中“網(wǎng)購達人”的人數(shù)，求 的分布列和
數(shù)學期望．
解：（1）根據(jù)題意，有
解得 …………………2分
， ．
補全頻率分布直方圖如圖所示． ………4分
（2）用分層抽樣的方法，從中選取 人，則
其中“網(wǎng)購達人”有 人，“非網(wǎng)購達人”有 人． …………………6分
故 的可能取值為0，1，2，3；
， ，
， ．…………………………10分
所以 的分布列為：
． ……………………12分
【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及
數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．
18．（本小題滿分14分）
如圖6所示，平面 平面 ，且四邊形 為矩形，四邊形 為直角梯形， ， ， ， ．
（1）求證 平面 ；
（2）求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值；
（3）求直線 與平面 所成角的余弦值．
解：（法一）（1）取 中點為 ，連接 、 ，
且 ，
，則 且 ． …………2分
四邊形 為矩形， 且 ，
且 ，
，則 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ． ……………………………………………………4分
（2）過點 作 的平行線交 的延長線
于 ，連接 ， ， ，
，
， ， ， 四點共面．
四邊形 為直角梯形，四邊形 為矩形，
， ，又 ，
平面 ， ，
又 平面 平面 ，
為平面 與平面 所成銳二面角的平面角．……………………7分
， ．
即平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ． ……………………9分
（3）過點 作 于 ，連接 ，
根據(jù)（2）知 ， ， ， 四點共面， ，
， ，
又 ， 平面 ，
，則 ．
又 ， 平面 ．
直線 與平面 所成角為 ． ……………………………11分
， ，
， ， ，
．
即直線 與平面 所成角的余弦值為 ． ……………………………14分
（法二）（1） 四邊形 為直角梯形，四邊形 為矩形，
， ，
又 平面 平面 ，且
平面 平面 ，
平面 ．
以 為原點， 所在直線為 軸， 所在直線為 軸，
所在直線為 軸建立如圖所示空間直角坐標系．
根據(jù)題意我們可得以下點的坐標：
， ， ， ， ， ， 則 ， ． ………………2分
， ， 為平面 的一個法向量．
又 ，
平面 ． …………………………………………………………4分
（2）設(shè)平面 的一個法向量為 ，則
， ，
， 取 ，得 ． ……………………………6分
平面 ，
平面 一個法向量為 ，
設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的大小為 ，
則 ．
因此，平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ． …………………9分
（3）根據(jù)（2）知平面 一個法向量為 ，
， ，………12分
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則 ．
因此，直線 與平面 所成角的余弦值為 ． ………………………14分
【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決
數(shù)學問題的能力．
19． （本小題滿分14分）
已知數(shù)列 的前 項和為 ，且滿足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）設(shè) ，數(shù)列 的前 項和為 ，求證： ．
解：（1）當 時，有 ，解得 ．
當 時，有 ，解得 ．……………2分
（2）（法一）當 時，有 , ……………①
． …………………②
①—②得： ，即： ．…………5分
．
． ………………………………………8分
另解： ．
又 當 時，有 ， ． …………………………8分
（法二）根據(jù) ， ，猜想： ． ………………………………3分
（Ⅰ）當 時，有 ，猜想成立．
（Ⅱ）假設(shè)當 時，猜想也成立，即： ．
那么當 時，有 ，
即： ，………………………①
又 ， …………………………②
①-②得： ，
解，得 ．
當 時，猜想也成立．
因此，由
數(shù)學歸納法證得 成立．………………………………………8分
（3） ， ……………………………10分
． ………………………………………14分
【說明】考查了遞推數(shù)列的通項公式、數(shù)列裂項求和公式、放縮法證明不等式等知識，考查了學生的運算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想．
20．（本小題滿分14分）
如圖7，直線 ，拋物線 ，已知點 在拋
物線 上，且拋物線 上的點到直線 的距離的最小值為 ．
（1）求直線 及拋物線 的方程；
（2）過點 的任一直線（不經(jīng)過點 ）與拋物線 交于 、 兩點，直線 與直線 相交于點 ，記直線 ， ， 的斜率分別為 ， ， ．問：是否存在實數(shù) ，使得 ？若存在，試求出 的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）（法一） 點 在拋物線 上， ． ……………………2分
設(shè)與直線 平行且與拋物線 相切的直線 方程為 ，
由 得 ，
，
由 ，得 ，則直線 方程為 ．
兩直線 、 間的距離即為拋物線 上的點到直線 的最短距離，
有 ，解得 或 （舍去）．
直線 的方程為 ，拋物線 的方程為 ． …………………………6分
（法二） 點 在拋物線 上， ，拋物線 的方程為 ．……2分
設(shè) 為拋物線 上的任意一點，點 到直線 的距離為 ，根據(jù)圖象，有 ， ，
， 的最小值為 ，由 ，解得 ．
因此，直線 的方程為 ，拋物線 的方程為 ．…………………6分
（2） 直線 的斜率存在， 設(shè)直線 的方程為 ，即 ，
由 得 ，
設(shè)點 、 的坐標分別為 、 ，則 ， ，
， ， …………………………9分
.…10分
由 得 ， ，
， ……………………………………………13分
．
因此，存在實數(shù) ，使得 成立，且 ．…………………………14分
【說明】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，切
線方程，點到直線距離，最值問題等基礎(chǔ)知識，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
21． （本小題滿分14分）
已知函數(shù) ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直線 為曲線 的切線，求實數(shù) 的值；
（3）當 時，設(shè) ，且 ，若不等式 恒成立，求實數(shù) 的最小值．
解：（1） ，…………………………2分
令 ，解得 （負值舍去），
由 ，解得 ．
（�。┊� 時，由 ，得 ，
在 上的最大值為 ．…………………………………3分
（ⅱ）當 時，由 ，得 ，
在 上的最大值為 ．……………………………………4分
（ⅲ）當 時， 在 時， ，在 時， ，
在 上的最大值為 ．…………………………………5分
（2）設(shè)切點為 ，則 ……………………………6分
由 ，有 ，化簡得 ，
即 或 ， ……………………………①
由 ，有 ，……………②
由①、②解得 或 ． ……………………………………………9分
（3）當 時， ，
由（2）的結(jié)論直線 為曲線 的切線，
， 點 在直線 上，
根據(jù)圖像分析，曲線 在直線 下方． …………………………10分
下面給出證明：當 時， ．
，
當 時， ，即 ．………………………12分
，
， ．
要使不等式 恒成立，必須 ．……………13分
又 當 時，滿足條件 ，
且 ，
因此， 的最小值為 ． …………………………………………………14分
【說明】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)運算法則、導數(shù)的幾何意義及其應用、不等式的求解與證明、恒成立問題，考查學生的分類討論，計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．
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