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2014
長春二模考試?yán)砜?a href='http://szenemacher.com/math/' target='_blank'>
數(shù)學(xué)試題答案（word版）
數(shù) 學(xué)（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅱ卷考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
注意事項(xiàng)：
1答題前，考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選填涂在答題卡上）.
1設(shè)集合，集合，則下列關(guān)系中正確的是
A．B．C．D．
2設(shè)是虛數(shù)單位，則等于
A．B．C．D．
3．,,,若為實(shí)數(shù)，，則的值為
A．B．C．D．：函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列命題為真命題的是
A．B．C． D.
5. 運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的是，則①應(yīng)為
A． B． C．D．
6．以下四個命題中：
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于；③在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布若內(nèi)的概率為，則內(nèi)的概率為；④對分類變量與的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，與有關(guān)系的把握越大其中真命題的為
A．①④B．②④C．①③D．②③
．和直線，拋物線上一動點(diǎn)到直線
和直線的距離之和的最小值是
A．B．C．D．．計(jì)劃排球、籃球、球個項(xiàng)目的比賽在個不同的體育館舉辦，每個項(xiàng)目的比賽只能安排在一個體育館進(jìn)行，則在同一個體育館比賽的項(xiàng)目不超過個的安排方案共有
A．種B．種C．種D．種某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為A．B．C．D．．，則的圖象大致為
11.已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)(，在同一支上),為雙曲線的兩個焦點(diǎn),則在
A．以，為焦點(diǎn)的橢圓上或線段的垂直平分線上
B．以，為焦點(diǎn)的雙曲線上或線段的垂直平分線上
C．以為直徑的圓上或線段的垂直平分線上
D．以上說法均不正確
12．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為
A．B．C．D．（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分。第題為必考題，每個試題考生都必須答。第題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.
13,則= .
14．設(shè)的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，則直線與曲線圍成圖形的面積為 .
15．用一個邊長為的正三角形硬紙，沿各邊中點(diǎn)連線垂直折
起三個小三角形，做成一個蛋托，半徑為的雞蛋（視為
球體）放在其上（如圖），則雞蛋中心（球心）與蛋托底
面的距離為 .
16．已知數(shù)列中,,,,
則……= .
三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
17．（本小題滿分12分）
已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)，.
（1）求函數(shù)的表達(dá)式（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和（本小題滿分12分）小型風(fēng)力發(fā)電一類風(fēng)區(qū)二類風(fēng)區(qū)平均風(fēng)速m/s8.5106.5～8.5假設(shè)投資A項(xiàng)目的資金為（≥0）萬元，投資B項(xiàng)目資金為（≥0）萬元，調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的A項(xiàng)目獲利的可能性為，虧損的可能性為；位于二類風(fēng)區(qū)B項(xiàng)目獲利的可能性為，虧損的可能性是，不賠不賺的可能性是.
（1）A，B和，試寫出隨機(jī)變量與的分布列和期望，；
（2）某公司計(jì)劃用不超過萬元的資金投資于AB項(xiàng)目且公司要求對A項(xiàng)目的投B項(xiàng)目,根據(jù)（1）的條件和市場調(diào)研，試估計(jì)一年后兩個項(xiàng)目的平均利
潤之和的最大值．
19．（本小題滿分12分）如圖，，底面是等腰梯形，
且∥，是中點(diǎn)，平面，
， 是中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
求與平面所成銳二面角的余弦值.
20．（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上 （）求橢圓方程；
（）點(diǎn)在圓上，在第一象限，過作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，問的周長是否為定值？如果是，求出定值如不是，說明理由（本小題滿分12分）．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）設(shè)，，且，證明：.
請考生在22、23、24三題中任選一題做作，如果多做，則按所做的第一題記分.
22（本小題滿分1分）如圖，是圓的直徑，是延長線上的一點(diǎn)，是圓
的割線，過點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)，交直線
于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為.
（1）求證四點(diǎn)共圓；（2）若,求的長.23．（本小題滿分1分）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．
（1）的直角坐標(biāo)方程；
（2）若是直線與圓面的公共點(diǎn)，求的取值范圍．
（本小題滿分1分）.
（1）的解集為，求的值；
（2），使，求的取值范圍.
1．【答案】：
【解析】：，或，則，故選
2．【答案】：
【解析】：，故選
3．【答案】：
【解析】：函數(shù)的圖象可看出先把函數(shù)的圖象上每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)向左平移一個單位，再將所得圖象沿軸作翻折，最后再將所有點(diǎn)的坐標(biāo)向上平移個單位得到，而的圖象恒過，所以的圖象恒過，因此為假命題；若函數(shù)為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對稱，的圖象即整體向左平移一個單位得到，所以的圖象關(guān)于直線對稱，因此為假命題；參考四個選項(xiàng)可知，選
4．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，故選
5．【答案】：
【解析】：由程序框圖算法可知，……，由于輸出，即，解得，故①應(yīng)為“”，故選
6．【答案】：
【解析】：①應(yīng)為系統(tǒng)（等距）抽樣；②線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，兩變量間線性關(guān)系越密切；③變量，；④ 隨機(jī)變量的觀測值越，判斷“與有關(guān)系”的把握越大．
7．【答案】：
【解析】：由題可知是拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則動點(diǎn)到的距離等于，則動點(diǎn)到直線 和直線的距離之和的最小值，即焦點(diǎn)到直線的距離，所以最小值是，故選
8．【答案】：
【解析】：若個項(xiàng)目分別安排在不同的場館，則安排方案共有種；若有兩個項(xiàng)目安排在同一個場館，另一個安排在其他場館，則安排方案共有種；所以在同一個體育館比賽的項(xiàng)目不超過2個的安排方案共有
9．【答案】：
【解析】：由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取的半個圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長為，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐的側(cè)面積的一半以及截面三角形的面積的和，即，故選
10．【答案】：
【解析】：，令，則，在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的簡圖，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢可以發(fā)現(xiàn)與共有三個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)從小到大依次設(shè)為，在區(qū)間上有，即；在區(qū)間有，即；在區(qū)間有，即；在區(qū)間有，即.故選
11．【答案】：
【解析】：當(dāng)直線垂直于實(shí)軸時，則易知在的垂直平分線上；當(dāng)直線不垂直于實(shí)軸時，不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且、都在右支上，由雙曲線定義：，，則，由雙曲線定義可知，在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，故選
12.【答案】：
【解析】：由，得：，即，令，則當(dāng)時，，即在是減函數(shù)， ，，，
在是減函數(shù)，所以由得，，即，故選
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：，令，∴，所以直線為與的交點(diǎn)為和，∴直線與曲線圍成圖形的面積
15.【答案】：
【解析】：由題意可知蛋槽的高為，且折起三個小三角形頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為的等邊三角形，所以球心到面的距離，∴雞蛋中心與蛋巢底面的距離為
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
所以……=
17【解析】：
（）由， 是銳角，
（）， , （常數(shù)）
是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,
18.【解析】：
（1）A項(xiàng)目投資利潤的分布列
P
B項(xiàng)目投資利潤的分布列
0P …………………………………………………………………6分
(2)由題意可知滿足的約束條件為 ………………9分
由(1)可知，
當(dāng)，取得最大值15.
∴對A、B項(xiàng)目各投資50萬元，可使公司獲得最大利潤，最大利潤是15萬元.…………12分
19.【解析】：
(1) 證明： 且∥，…………2分平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
…………6分、交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補(bǔ)角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，以平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直于方向?yàn)檩S以方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
則，，，
，，…………8分，，
可求得平面的法向量為
又，，
可求得平面的法向量為
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為. …………12分：
（1）右焦點(diǎn)為
左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上
，
所以橢圓方程為5分
（2）
∴…………11分
∴（定值）…………12分
『解法2』：
設(shè) ，
8分
連接，由相切條件知：
………………………………10分
同理可求
所以為定值12分
令則 ∴；令則 ∴
∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是
極小值，無極大值
（2）證明：不妨設(shè)，
兩邊同除以得，
令，則，即證：
令
令，
， 在上單調(diào)遞減，所以
即，即恒成立
∴在上是減函數(shù)，所以
∴得證
所以成立
22.【解析】：
（1）證明：連結(jié)，∵是圓的直徑，
∴，
在和中，
又∵ ∴
∴四點(diǎn)共圓四點(diǎn)共圓
∵是圓的切線，∴ ∴
又因?yàn)?∴
∴
22.【解析】：（1）因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為
又
所以
所以圓的普通方程
（2）『解法1』：
設(shè)
由圓的方程
所以圓的圓心是，半徑是
將代入得
又直線，圓的半徑是，所以
所以
即的取值范圍是
『解法2』：
直線的參數(shù)方程化成普通方程為：…………6分
由，
解得，…………8分
∵是直線與圓面的公共點(diǎn)，在線段上，
∴的最大值是，
最小值是
∴的取值范圍是…………10分
24.【解析】：
由題意可得可化為，
，解得.
（2）令，
所以函數(shù)最小值為，
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) http://szenemacher.com/math/
