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2014
寧波二模文科
數(shù)學(xué)答案
寧波市2014年高考模擬考試
說明：
一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試
題的主要考查內(nèi)容制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．
二、對計算題，當(dāng)考生的題答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題
的內(nèi)容與難度，可視影響的程度決定后續(xù)部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)
的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán) 的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．
四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5 分，滿分50 分．
（1）A （2）B （3）C （4）B （5）A
（6）C （7）D （8）C （9）D （10）B
二、填空題: 本題考查基本知識和基本運算．每小題4 分，滿分28 分．
9
（11）700 （12） （13）-2 （14） 2
25
È 5 ˆ
（15）27p （16）①③ （17）-•,-3 U ,+•
( ] Í 2 ˜
Î ¯
三、解答題：本大題共5 小題，共72 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（18）（本小題滿分14 分）
11 5 3
解：（I）由cosB = ，得sin B = ， ……………………1 分
14 14
又2 3a sin B = 5c ，代入得3a = 7c ，
a c
由 = ，得3sin A = 7 sinC ， ……………………3 分
sin A sinC
3sin A = 7 sin(A + B) ，3sin A = 7 sin A cosB + 7cosA sinB …………5 分
2p
得tan A = - 3 ，A = ……………………7 分
3
2 2 19
（Ⅱ）AB + BD - 2ABgBD cosB = ， ……………………9 分
4
2 7 2 7 11 19
c + ( c) - 2cg cg = ，c = 3 ，則a = 7 ……………………11 分
6 6 14 4
1 1 5 3 15 3
S = ac sin B = g3g7 = ……………………14 分
2 2 14 4
（19）（本小題滿分14 分）
Ï a + d = 8 a = 4
1 Ï 1
解：（Ⅰ）由題意，Ì ，得Ì ,\an =4n ． …………3 分
4a + 6d = 40 d = 4
Ó 1 Ó
QT - 2b + 3 = 0 ，\當(dāng)n = 1時，b = 3，
n n 1
當(dāng)n 2時，Sn-1 - 2bn-1 + 3 = 0 ，兩式相減，得bn = 2bn-1,(n 2)
數(shù)列{b }為等比數(shù)列，\b = 3 2n-1 ． …………7 分
n n
4n n為奇數(shù)
Ï
（Ⅱ）cn = Ì n-1 ．
Ó32 n為偶數(shù)
P = (a + a + L+ a ) + (b + b + L+ b ) ……………8 分
2n+1 1 3 2n+1 2 4 2n
n
[4 + 4(2n + 1) (n + 1)] 6(1- 4 )
= + ……………12
2 1- 4
分
= 22n+1 + 4n2 + 8n + 2 ……………14 分
（20）（本題滿分14 分）
（Ⅰ）證明：QDABC 為等邊三角形，M 為AC 的中點，\BM ^AC ．
又QAC ^ CD ，\在平面ABCD中，有BM P CD ． ……………3 分
又QCD Ã 平面PCD,BM À 平面PCD, \BM P平面PCD. ……5 分
P
（Ⅱ）解：QPA ^ 平面ABCD,CD Ã 平面ABCD,
H
\PA ^CD ，又QAC ^ CD ，
PA « AC = A,\CD ^平面PAC ．
N
\直線PD 與平面PAC 所成角為–DPC A D
……………7 分
M
CD 6 C
在RtDPCD中，tan –DPC = = ． B
PC 2
設(shè)AP = AB = a ，則AC = a,PC = 2a
6
\CD = PC = 3a
2
2 2 2 2
在RtDACD中，AD =AC +CD =4a ,\AD =2a ． ……………9 分
QPA ^ 平面ABCD, \平面PAD ^平面ABCD ．
在RtDACD中，過M 作MN ^ AD.
又Q平面ABCD I平面PAD=AD,MN Ã 平面ABCD,
\MN ^平面PAD.
在平面PAD 中，過N 作NH ^ PD ，連結(jié)MH ，則PD ^ 平面MNH ．
\–MHN 為二面角A - PD - M 的平面角． ……………12 分
3 1 7
在RtDACD中，MN = a,AN = a,ND= a,
4 4 4
NH DN PA DN 7
\ = , \NH = = a
PA PD PD 4 5
3
a
\tan –MHN = MN = 4 = 15 ,
NH 7 7
a
4 5
15
\二面角A - PD - M 的正切值為 ． ……………………14 分
7
（21）（本題滿分15 分）
¢ 2 3a 2 a
解：（Ⅰ）f (x) = 3x - = 3(x - ) ， ……………2 分
2 2
當(dāng)a £ 0 時， f ¢(x ) 0 ，f (x ) 在 -1,1 上遞增； ……………3 分
[ ]
È a ˆ Ê a ˘ Ê a a ˆ
當(dāng)0 < a < 2 時，f (x ) 在 -1,- , ,1 上遞增，在 - , 上遞減；
Í ˜ Á ˙ Á ˜
2 ˜ Á 2 Á 2 2 ˜
Î ¯ Ë ˚ Ë ¯
……………5 分
當(dāng)a 2 時，f ¢(x ) £ 0 ，f (x ) 在 -1,1 上遞減． ……………6 分
[ ]
È a ˆ Ê a ˘ Ê a a ˆ
(Ⅱ) 當(dāng)0 < a < 2 時，f (x ) 在 -1,- , ,1 上遞增，在 - , 上遞減．
Í ˜ Á ˙ Á ˜
2 ˜ Á 2 Á 2 2 ˜
Î ¯ Ë ˚ Ë ¯
3 2 3 2 7 a a 2
f (1) = 1- a + a = (a - ) + > 0,f (- ) = a + a > 0 ，
2 4 16 2 2
3 2 1 a 2 a 1
f (-1) = -1+ a + a = (2a - 1)(a + 2) ,f ( ) = a - a = a a( a - ) ．
2 2 2 2 2
………9 分
1
①0 < a < 時，
2
a Ï a a ¸
Ô Ô
f (-1) < 0 ,f ( ) < 0 , f (x) = max Ì-f (-1),f (- ),-f ( ),f (1)˝ ．
2 max Ô 2 2 Ô
Ó ˛
3 2 a a 2
而-f (-1) =1- a - a ，f (- ) = a + a ，
2 2 2
a 2 a 3 2
-f ( ) = -a + a ，f (1) =1- a + a ．
2 2 2
顯然-f (-1) < f (1) ，-f ( a ) < f (- a ) ，
2 2
所以只需比較f (- a ) 與f (1) 的大�。�
2
a a 3
f (- ) - f (1) = a + a -1 ．
2 2 2
a 3 1
Qg (a) = a + a -1在(0,+•)上單調(diào)遞增，而g ( ) = 0 ．
2 2 2
1 a 3 2
\0 < a < 時，f (- ) < f (1) ，f (x) = f (1) =1- a + a ．………12 分
2 2 max 2
1 a Ï a ¸
Ô Ô
② £ a<2時，f (-1) 0 ,f ( ) 0 , f (x) = max Ìf (- ),f (1)˝ .
2 2 max Ô 2 Ô
Ó ˛
a a 3 a a 2
f (- ) - f (1) = a + a - 1 0, f (x) = f (- ) = a + a ………15分
2 2 2 max 2 2
Ï 3 2 1
Ô1- 2 a + a ,0 < a < 2
綜上所述， ( ) = Ô
f x Ì
max Ô a 2 1
a + a , £ a < 2
Ô 2 2
Ó
（22）（本小題滿分15 分） y
p 2
解：(Ⅰ) 2 - (- ) = 3,\p = 2,\x =4y ． A
2
………5 分 M
(Ⅱ)A(x ,y ),B(x ,y ),M (x ,y ),N (x ,y ) P
1 1 2 2 3 3 4 4
B N
O x
l :y = k x + 2 ，與拋物線x2 = 4y 聯(lián)立可得
1 1
x + x = 4k
2 Ï 1 2 1
x - 4k x - 8 = 0 ， \Ì ，
1
x x = -8
Ó 1 2
AB = 1+ k2 x - x = 4 (1+ k2 )(k2 + 2) ，k1 ŒR且k1 0 . ……………10 分
1 1 2 1 1
設(shè)點M ,N 到直線l 的距離分別為h 和h ，
1 1 2
k x - y + 2 k x - y + 2 (k x - y ) - (k x - y )
h + h = 1 3 3 + 1 4 4 = 1 3 3 1 4 4
1 2
1+ k2 1+ k2 1+ k2
1 1 1
(k x - k x ) - (y - y )
1 3 1 4 3 4
= ．
1+ k2
1
y = k x + 2,y = k x + 2 ，y - y = k (x - x ) ．
3 2 3 4 2 4 3 4 2 3 4
(k x - k x ) - (y - y ) x - x k - k
h + h = 1 3 1 4 3 4 = 3 4 1 2 ．
1 2
1+ k2 1+ k2
1 1
同理可得x2 - 4k x - 8 = 0 ，x - x = (x + x )2 - 4x x = 4 k 2 + 2
2 3 4 3 4 3 4 2
4 k - k k2 + 2
h + h = 1 2 2 ． ……………12 分
1 2
1+ k2
1
1 2 2
S = AB (h + h ) = 8 (k + 2)(k + 2) k -k
AMBN 1 2 1 2 1 2
2
È 2 2 2 2 ˘ 2 2
= 8 2(k + k ) + k k + 4 (k + k - 2k k )
Î 1 2 1 2 ˚ 1 2 1 2
3 È 2 2 9 ˘ 2 2 3
Qk k = - ,\S = 8 2(k + k ) + + 4 (k + k + )
1 2 4 AMBN Í 1 2 16 ˙ 1 2 2
Î ˚
2 2 3 9 3 È 3 ˆ
設(shè)t = k + k 2 k k = ，SAMBN = 8 (2t + + 4)(t + ) 在 ,+• ˜上
1 2 1 2 2 16 2 Í 2
Î ¯
單調(diào)遞增，
9 3 3
SAMBN 8 (3+ + 4)( + ) = 22 3 ，當(dāng)且僅當(dāng)
16 2 2
3 3 3
t = , 即{k ,k }= {- , } 時取等號．
1 2
2 2 2
\四邊形AMBN 面 的最小值為22 3 ． ……………15 分
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