絕密★啟用前

2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理  科  數(shù)  學(xué)

(第二次模擬考試)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～24題為選考題，其它題為必考題�？忌�作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。

2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效。

4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。

5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 

1．已知全集U=R，集合，，則集合等于 

A．        B．   C．      D．

2．若復(fù)數(shù)滿足，則=  

A．  B．    C．    D．

3．已知等比數(shù)列的公比大于1，，，則 

A．96   B．64  C．72    D．48

4．設(shè)l，m，n表示不同的直線，α、β、γ表示不同的平面，給出下列四個命題：

①若m∥l，且m⊥α，則l⊥α； ②若m∥l，且m∥α，則l∥α；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，則l∥m∥n；

④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且nβ，則l∥m.

其中正確命題的個數(shù)是 

A．2        B．1        C．3        D．4

5從拋物線上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，

垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，

則△MPF的面積（    ）

A．5B．10C．20D．

6閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的值是    

A．     B．      C．      D． 

7．將甲、乙、丙等六人分配到高中三個年級，每個年級2人，要求甲必須在高一年級，乙和丙均不能在高三年級，則不同的安排種數(shù)為 

A．18      B．15        C．12       D．9

8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

A．            B．

C．（2）D．（2） 

9．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若＜cos A，則△ABC為

A．鈍角三角形    B．直角三角形     C．銳角三角形   D．等邊三角形

10．現(xiàn)有四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如下：

則按照從左到右圖象對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是

A．①④②③ B．①④③②　  C．④①②③　  D．③④②①

11過雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B， C．若，則雙曲線的離心率是 

A．      B．       C．       D．

12設(shè)函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)，定義函數(shù)：,取函數(shù)，若對任意的，恒有，則

A. k的最大值為2 B. k的最小值為2     

C. k的最大值為1 D. k的最小值為1

本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 

13．已知向量，，且，若變量x，y滿足約束條件則z的最大值為         

14的二項(xiàng)展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為             

15若，且，則的值為        ． 

16在平面直角坐標(biāo)系中，記拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)椋�該拋物線與直線y＝(k＞0)所圍成的平面區(qū)域?yàn)�，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)，若點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為，則k的值為           

17．（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前項(xiàng)的和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上；數(shù)列滿足．其中．

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； 

（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)的和（）． 

18 （本題滿分12分）

今年年初，我國多個地區(qū)發(fā)生了持續(xù)性大規(guī)模的霧霾天氣，給我們的身體健康產(chǎn)生了巨大的威脅。私家車的尾氣排放也是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力。為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動車車尾號限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡（歲）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634

（Ⅰ）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖；

（Ⅱ）若從年齡在[15，25)，[25，35)的被調(diào)查

者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的

4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ

的分布列和數(shù)學(xué)期望．

19．（本小題12分）

已知正方形ABCD的邊長為1，．將正方形ABCD沿對角線折起，使，得到三棱錐A—BCD，如圖所示．

（I）若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ACD；

（II）求證：；

（III）求二面角的余弦值．

20.（本小題滿分12分）

已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

(Ⅰ)若P是第一象限內(nèi)該圖上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)P的作標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓交于同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角（其中O為作標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

21.（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅲ)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若對于，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 

22.（本小題滿分10分）選修4—1: 幾何證明選講．

如圖，在正ΔABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC,  AC上,且,，AD，BE相交于點(diǎn)P.

求證：(I) 四點(diǎn)P、D、C、E共 圓；      

 (II) AP CP。

已知直線為參數(shù)), 曲線  （為參數(shù)）.

 (I)設(shè)與相交于兩點(diǎn),求；

(II)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.

已知函數(shù)．

(I)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；

(II)在(I)的條件下，若存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

題號123456789101112答案DCAABCDBAACD13. 3   14. 15   15. 1或

17．⑴由已知條件得，   ①

當(dāng)時，，  ②

①－②得：，即，

∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴（），

又，∴；∵，

∴，∴；

⑵∵，

∴，

，

兩式相減得，

∴．

（）的所有可能取值為：0,1,2,3……………6分

所以的分布列是：

所以的數(shù)學(xué)期望

19． (I) 在正方形ABCD中，是對角線的交點(diǎn)，

O為BD的中點(diǎn)，  M為AB的中點(diǎn)， OM∥AD. 

又AD平面ACD，OM平面ACD， OM∥平面ACD.  

（II）證明：在中，，， 

，. 

又 是正方形ABCD的對角線，， 

又. 

（III）由（II）知，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，                

是平面的一個法向量.，，                       

設(shè)平面的法向量,則，.

即，  

所以且令則，，解得. 

從而，二面角的余弦值為. 

20．（Ⅰ）易知，，．

∴，．設(shè)．則

，又，

聯(lián)立，解得，．

（Ⅱ）顯然不滿足題設(shè)條件．可設(shè)的方程為，設(shè)，．

聯(lián)立

∴，由

，，得．①又為銳角，∴

又

∴

∴．②

綜①②可知，∴的取值范圍是

21.   函數(shù)的定義域?yàn)椋?           

(Ⅰ)當(dāng)時，，

 ∴在處的切線方程為                             

(Ⅱ)，的定義域?yàn)?/div> 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)  http://szenemacher.com/math/