二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)

簡答與提示：

13. 【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

【試題解析】由題意可知常數(shù)項(xiàng)為.

14. 【命題意圖】本題考查定積分的幾何意義及微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題. 

【試題解析】由題意，所以.

15. 【命題意圖】球的內(nèi)接幾何體問題是高考熱點(diǎn)問題，本題通過求球的截面面積，對考生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力進(jìn)行考查，具有一定難度. 

【試題解析】由題意，面積最小的截面是以為直徑，可求得，進(jìn)而截面面積的最小值為. 

16. 【命題意圖】本題主要考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的零點(diǎn)與交點(diǎn)的相關(guān)問題，需要學(xué)生對圖像進(jìn)行理解，對學(xué)生的能力提出很高要求，屬于難題. 

【試題解析】由題意可知是周期為4的偶函數(shù)，對稱軸為直線. 若恰有4個零點(diǎn)，有，解得. 

三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)

17. (本小題滿分12分)

【命題意圖】本小題主要考查兩角和的正切公式，以及同角三角函數(shù)的應(yīng)用，并借助正弦定理考查邊角關(guān)系的運(yùn)算，對考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有較高要求. 

【試題解析】解：(1)               (3分)

                             (6分)

(2)因?yàn)?img alt="吉林省長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（理）試題及答案" data-bd-imgshare-binded="1" src="http://img.yggk.net/yggk/allimg/150305/1322291M8-73.png" style="border: 0px; max-width: 650px;" title="wps68C1.tmp.png" />，而，且為銳角，可求得.                             (9分)

所以在△中，由正弦定理得，.      (12分)

18. (本小題滿分12分)

【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識、離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查數(shù)據(jù)處理能力.

【試題解析】(1)由圖可知，.      (4分)

(2)  利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬于高消費(fèi)人群的為6人，屬于潛在消費(fèi)人群的為4人.                (6分)

從中取出三人，并計算三人所獲得代金券的總和，

則的所有可能取值為：150，200，250，300.      

，     ，

， ，

             (10分)

且.    (12分)

19. (本小題滿分12分)

【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求. 

【試題解析】解：(1) 取中點(diǎn)，連結(jié)、，

是中點(diǎn)，，

又，，四邊形為平行四邊形

，平面，，

，，平面，

平面，平面平面.              (6分)

(2) 存在符合條件的.以為原點(diǎn)，方向?yàn)?img alt="吉林省長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（理）試題及答案" data-bd-imgshare-binded="1" src="http://img.yggk.net/yggk/allimg/150305/13222921R-130.png" style="border: 0px; max-width: 650px;" title="wps6996.tmp.png" />軸，方向?yàn)?img alt="吉林省長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（理）試題及答案" data-bd-imgshare-binded="1" src="http://img.yggk.net/yggk/allimg/150305/13222913I-132.png" style="border: 0px; max-width: 650px;" title="wps6998.tmp.png" />軸，方向?yàn)?img alt="吉林省長春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（理）試題及答案" data-bd-imgshare-binded="1" src="http://img.yggk.net/yggk/allimg/150305/1322295c6-134.png" style="border: 0px; max-width: 650px;" title="wps699A.tmp.png" />軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，

從而，，則平面的法向量為，

又平面即為平面，其法向量，

則，

解得或，進(jìn)而或.                           (12分)

20. (本小題滿分12分)

【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法，橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識. 本小題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求. 

【試題解析】解：(1) 已知，且,，其中為內(nèi)切圓半徑，化簡得：，頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓（去掉長軸端點(diǎn)），其中

進(jìn)而其方程為.                               (5分)

(2) ，以下進(jìn)行證明：

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線且，，

聯(lián)立可得，.   (8分)

由題意：，，.

當(dāng)直線斜率不存在時，，

綜上可得.                      (12分)

21.  (本小題滿分12分)

【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點(diǎn)的情況. 本小題對考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求.

【試題解析】解：(1) 對求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以.                              (3分)

(2) 由(1)得，

.

① 當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；

②當(dāng)時，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；

③當(dāng)時，令，當(dāng)時，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，

即而且僅有.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.                       （8分）
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