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陽(yáng)光高考提供：2013年海淀區(qū)高三理科
數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺試題及其答案詳解
1.函數(shù) 圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A． B． C． D．
3.若向量 滿足 ，且 ，則向量 的夾角為
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.已知函數(shù) ，則 ， ， 的大小關(guān)系為A． B．
C． D．
5.某空間幾何體三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為_(kāi)____,
體積為_(kāi)____________.
6.設(shè) 、 是不同的直線， 、 、 是不同的平面，有以下四個(gè)命題：
① 若 則 ②若 ， ，則
③ 若 ，則 ④若 ，則
其中所有真命題的序號(hào)是_____
7.設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線 上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則 的取值范圍是_____.
8.已知不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)?，則 的面積是_____；
設(shè)點(diǎn) ，當(dāng) 最小時(shí)，點(diǎn) 坐標(biāo)為_(kāi)____．
9. 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為
10. 計(jì)算 .
11.若直線 的參數(shù)方程為 其中 為參數(shù)，則直線 的斜率為_(kāi)______.
12.如圖，已知 是圓 的切線，切點(diǎn)為 , 交圓 于 兩點(diǎn)，
，則
13.如圖所示，正方體 的棱長(zhǎng)為1, 分別是棱 ， 的中點(diǎn)，過(guò)直線 的平面分別與棱 、 交于 ，
設(shè) ， ，給出以下四個(gè)命題：
①平面 平面 ；
②四邊形 周長(zhǎng) ， 是單調(diào)函數(shù)；
③四邊形MENF面積 ， 是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐 的體積 為常函數(shù)；
以上命題中正確命題的個(gè)數(shù)（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14.直線 與拋物線 相切于點(diǎn) . 若 的橫坐標(biāo)為整數(shù)，那么 的最小值為 .
15.已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 若 是 中的最大值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_____.
解答題部分：
1. 已知函數(shù)
（I）求 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在 中，角 所對(duì)的邊分別是 ，若 且 ，試判斷 的形狀.
2. 如圖，在直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線與射線 交于點(diǎn) ，與 軸交于點(diǎn) ．記 ，且 ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）求 面積的最大值.
3. 已知函數(shù) ,且
（Ⅰ）求 的值.
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大和最小值.
4.數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù)，前 項(xiàng)和為 ,且對(duì)任意 ，都有 .
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
5. 已知正三角形 與平行四邊形 所在的平面互相垂直.
又 ，且 ，點(diǎn) 分別為 的中點(diǎn).
(I) 求證：
(Ⅱ) 求二面角 值.
6. 袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．
（Ⅰ）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，求兩球顏色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，記 為摸出兩球中白球的個(gè)數(shù)，求 的期望和方差.
7. 已知函數(shù) 在 處有極值.
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若直線 與函數(shù) 有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
8. 已知函數(shù) ，其中 .
（Ⅰ）求 的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若存在 ， ，使得 ，求 的取值范圍.
9. 設(shè)函數(shù) ，其圖象在點(diǎn) 處的切線的斜率分別為 ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）若函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，求 的取值范圍．
10. 已知橢圓 的離心率為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設(shè) 為橢圓 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 的垂直平分線交 軸于點(diǎn) ，求 的取值范圍.
11.如圖，已知 ， 兩點(diǎn)分別在 軸和 軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足 ， .
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程；
（Ⅱ）若正方形 的三個(gè)頂點(diǎn) 在點(diǎn) 的軌跡上，
求正方形 面積的最小值.
12. 動(dòng)圓過(guò)點(diǎn) 且在 軸上截得的線段長(zhǎng)為 ，記動(dòng)圓圓心軌跡為曲線 .
（Ⅰ）求曲線 的方程;
（Ⅱ）已知 是曲線 上的兩點(diǎn)，且 ，過(guò) 兩點(diǎn)分別作曲線 的切線，設(shè)兩條切線交于點(diǎn) ，求△ 面積的最大值．
13.已知橢圓 的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 ，點(diǎn) 是直線 上任意一點(diǎn)，直線 ， 分別與橢圓交于不同于 兩點(diǎn)的點(diǎn) ，點(diǎn) .
（Ⅰ）求橢圓的離心率和右焦點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（Ⅱ）（i）證明 三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）求 面積的最大值。
理科 2013年5月
題號(hào) 1 2 3 4 5
答案 B C C A ，
題號(hào) 6 7 8 9 10
答案 ①③
15
題號(hào) 11 12 13 14 15
答案 -2
B 1
解答題部分：
１. 解：﹙Ⅰ﹚
所以
﹙Ⅱ﹚由 ，有 ，
所以
因?yàn)?，所以 ,即 .
由余弦定理 及 ，所以 .
所以 所以 .
所以 為等邊三角形.
2. 解：依題意 ，所以 ．
因?yàn)?，且 ，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）由三角函數(shù)定義，得 ，從而
所以
因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立
所以 面積的最大值為 .
3.解：（Ｉ）
（ＩＩ）因?yàn)?nbsp;
設(shè) 因?yàn)?所以
所以有
由二次函數(shù)的性質(zhì)知道， 的對(duì)稱軸為
所以當(dāng) ，即 ， 時(shí)，函數(shù)取得最小值
當(dāng) ，即 ， 時(shí)，函數(shù)取得最大小值
4. 證明：（I）當(dāng) 時(shí)，
因?yàn)?，所以
當(dāng) 時(shí)， ①
②
①－②得，
因?yàn)? 所以 ，
即 因?yàn)?適合上式
所以
（Ⅱ）由（I）知 ③
當(dāng) 時(shí)， ④
③－④得 －
因?yàn)? ,所以
所以數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得
5.（I）因?yàn)樵谡切?中， 為 中點(diǎn)，
所以
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以
在 中，
所以 ，所以 ，
即 ，又
所以 平面 ，所以
（Ⅱ）以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，
則 ，
由（I）得平面 的法向量為
設(shè)平面 的法向量為
因?yàn)?nbsp;
所以 解得 ，取
所以 ，
所以二面角 的值為 .
6. 解：（Ⅰ）記 “摸出一球，放回后再摸出一個(gè)球，兩球顏色不同”為事件A，
摸出一球得白球的概率為 ，
摸出一球得黑球的概率為 ，
所以P（A）＝ × ＋ × ＝
答：兩球顏色不同的概率是
（Ⅱ）由題知 可取0，1，2， 依題意得
則 ，
答： 摸出白球個(gè)數(shù) 的期望和方差分別是 ， .
7. 解：（Ⅰ）因?yàn)?，
所以
由 ，可得
經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí)，函數(shù) 在 處取得極值，
，
而函數(shù) 的定義域?yàn)?，
當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：
極小值
由表可知， 的單調(diào)減區(qū)間為 ， 的單調(diào)增區(qū)間為
（Ⅱ）若 ，則有 ，其中 ，
所以 有大于 的根，
顯然 ，設(shè)
則其對(duì)稱軸為 ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，
只要
解得 或 .
8. （Ⅰ）解：
① 當(dāng) 時(shí)，令 ，解得
的單調(diào)遞減區(qū)間為 ；單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
當(dāng) 時(shí)，令 ，解得 ，或
② 當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
③ 當(dāng) 時(shí)， 為常值函數(shù)，不存在單調(diào)區(qū)間
④ 當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，
單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
（Ⅱ）解：① 當(dāng) 時(shí)，若 ，
若 ， ，不合題意
② 當(dāng) 時(shí)，顯然不合題意
③ 當(dāng) 時(shí)，取 ，則
取 ，則 ，符合題意
④ 當(dāng) 時(shí)，取 ，則
取 ，則 ，符合題意
綜上， 的取值范圍是 ．
9.解：（Ⅰ）證明： ，由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得
， �。�1）
， （2）
又 ，可得 ，即 ，故
由（1）得 ，代入 ，再由 ，得
， （3）
將 代入（2）得 ，即方程 有實(shí)根．
故其判別式 得 ，或 ， （4）
由（3），（4）得 ；
（Ⅱ）由 的判別式 ，
知方程 有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為 ，
又由 知， 為方程（ ）的一個(gè)實(shí)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系得
，
當(dāng) 或 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
故函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，由題設(shè)知 ，
因此 ，由（Ⅰ）知 得
的取值范圍為 .
10.解: （Ⅰ）橢圓 的方程為：
（Ⅱ）設(shè) ，則 ， .
依題意有 ，即 ，
整理得 .
將 ， 代入上式，消去 ，
得 .
依題意有 ，所以 .
注意到 ， ，且 兩點(diǎn)不重合，從而 .
所以 .
11. 解：(I)
由已知 則
（Ⅱ）如圖，不妨設(shè)正方形在拋物線上的三個(gè)頂點(diǎn)中 在 軸的下方（包括 軸），
記 的坐標(biāo)分別為 ，其中
并設(shè)直線 的斜率為
則有 ……①
又因?yàn)?在拋物線 上，故有
代入①式得
……②
因?yàn)?nbsp;
即
所以
所以 將②代入可得：
即 ，
得
正方形的邊長(zhǎng)為
易知 , 所以
所以正方形ABCD面積的最小值為 .
12．解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為 ，那么 ，化簡(jiǎn)得
（Ⅱ）解法一：設(shè)
設(shè)直線PQ的方程為 ，代入曲線C的方程得 ，
所以
因?yàn)?，所以
所以,
過(guò)P、Q兩點(diǎn)曲線C的切線方程分別為
兩式相減，得
， ，
代入過(guò)P點(diǎn)曲線C的切線方程得,
，
即兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ），所以點(diǎn)M到直線PQ的距離為
當(dāng) 時(shí), ,此時(shí) 的面積的取最大值
解法二: 設(shè) ,則過(guò)P、Q兩點(diǎn)曲線C的切線方程分別為
兩式相減得 ，
， ，
代入過(guò)P點(diǎn)曲線C的切線方程得,
，
即兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ， )
設(shè)PQ中點(diǎn)為C，則C的坐標(biāo)為( ， )，所以MC平行于y軸，所以
設(shè)點(diǎn)M到直線PQ的距離為d，那么 (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立) ．
又因?yàn)?，所以 ，
即 ， ．
所以 (當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立) ．
因此 ， ，
所以 的面積的最大值為 ．
13.解:（Ⅰ） ， ，所以， 。
所以，橢圓的離心率 。
右焦點(diǎn) 。
（Ⅱ）（i） ， 。設(shè) ，顯然 。
則 ， 。
由 解得
由 解得
當(dāng) 時(shí)， ， 三點(diǎn)共線。
當(dāng) 時(shí)， ，
，
所以， ，所以， 三點(diǎn)共線。
綜上， 三點(diǎn)共線。
（Ⅱ）因?yàn)?三點(diǎn)共線，所以，△PQB的面積
設(shè) ，則
因?yàn)?，且 ，所以， ，且僅當(dāng) 時(shí)， ，
所以， 在 上單調(diào)遞減。
所以， ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得。
所以，△PQB的面積的最大值為 .
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