∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：
3
2 [ 2 , 2 ],
6 2 2
x k k k Z
∴
5
[ , ],
36
x k k k Z
∴
() fx
在
5
[ , ],
36
k k k Z
上單調(diào)減．········· 13分
．(Ⅰ) ， 分別為 的中點(diǎn)，
為矩形， ················· 2 分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 ····················· 4 分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , ··················6 分
法一：建系 為 軸， 為 軸， 為 軸,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ·········· 10 分
，可得 ． ·············14分
二：連 交 于點(diǎn) ,四邊形 為平行四邊形，所以 為 的中點(diǎn)，連 ,
則 , 面 , ,
作 于 點(diǎn)，所以 面 ,
連 ,則 , 即為所求 ············· 10 分
在 中， ,
解得 ． ·············14 分
． （1）記“從這10天的PM2．5日均值檢測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)
量達(dá)到一級” 為事件A，則
12
37
3
10
21
(A)=
40
CC P
C
（2）依據(jù)條件，
服從超幾何分布，其中
10 3 3 N M n ， ，
，
的可能取值為
0 1 2 3 ，，，
，
3
37
3
10
()
kk
CC Pk
C
, //CD AB , AD CD 2 2 AB CD ADF CD ABFD BF AB EF DC EC DE , EF AB CD AB , // AE E EF BF , BEF AE ABE ABE BEFEF DC EC DE , EF PD// PD AB CD AB , // PD AB AB PAD PA AB AB x AD y AP z ) 0 , 2 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 ( D B ) , 0 , 0 ( a P ) 0 , 2 , 2 ( C )
2
, 1 , 1 (
a
E BCD 1 (0,0,1) n EBD) 2 , , 2 ( 2 a a n ]
2
2
,
2
1
[
4 5
2
cos
2
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a AC BF K ABCF K AC EK PA EK // EK ABCD EK BD BD KH H BD EKH EH EH BD EHK EHK Rt 5
1
5
2
2
1
HK ] 3 , 1 [
2
5
5
1
2 tan
a
a
]
5
15 2
,
5
5 2
[ a
0 1 2 3
P
7
24
21
40
7
40
1
120
（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的概率為
7
10
P
設(shè)一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的平均天數(shù)為
，
~ (366 0.7) B ，
∴
366 0.7 256 E
18．（1）
'( ) 2
b
f x ax
x
由
'(1) 3
(1) 2
f
f
，得
2
1
a
b
2
( )=2 ln f x x x
，
2
1 4 1
'( ) 4
x
f x x
xx
，令
'( ) 0 fx
得
1
2
x
所以
10
1
1
2
1
1
2
k
k
k
≥
，解得
3
1
2
k
（2）設(shè)
22 1 1 1
( ) ln 2
3 2 6
c
g t t t ct
，根據(jù)題意可知
min min ( ) ( ) g t f x
由（1）知
min
11
( ) ( ) ln 2
22
f x f
2
'( ) ( 1) ( 1)( ) g t t c t c t t c
當(dāng)
1 c
時，
'( ) 0 gt ≥
，
() gt
在
13 t ，
上單調(diào)遞增，
min ( ) (1) ln 2
2
c
g t g
滿足
min min ( ) ( ) g t f x
當(dāng)
13 c
時，
() gt
在
1 tc ，
時單調(diào)遞減，在
3 tc，
時單調(diào)遞增，
32
min
1 1 1
( ) ( ) ln 2
6 2 6
g t g c c c
由
32 1 1 1 1
ln 2 ln 2
6 2 6 2
cc
得
32
3 2 0 cc ≥
，
-1 ( 2 2) 0 c c c （ ） ≥
．此時
1+ 3 3 c
當(dāng)
3 c≥
時
() gt
在
13 ，
上單調(diào)遞減
min
3 14
( ) (3) ln 2
23
c
g t g
3 14 3 3 14 1
(3) ln 2 ln 2 ln 2
2 3 2 3 2
c
g
綜上
c
的取值范圍是
1 1 3 ， ，
．
19． （1）根據(jù)題意可知：
( ,0)
2
p
F
，設(shè)直線
l
的方程為：
2
p
x ky
，則：
聯(lián)立方程：
2
2
2
p
x ky
y px
，消去
x
可得：
22
20 y pky p
（*），
根據(jù)韋達(dá)定理可得：
2
12 4 y y p
，∴
2 p
，∴
C
：
2
4 yx
（2）設(shè)
00 ( , ) E x y
，則：
0 1 2
0 1 2
2( )
2( )
x x x
y y y
，由（*）式可得：
12 2 y y pk
∴
0 8 yk
，
又
11
22
2
2
p
x ky
p
x ky
，∴
22
1 2 1 2 ( ) 2 4 2 x x k y y p pk p k
∴
2
0 84 xk
∵
2
00 4 yx
，∴
22
64 4(8 4) kk
，∴
2
21 k
，∴
2
2
k
∴直線
l
的斜率
1
=2 l
k
k
，
（3）可以驗(yàn)證該定值為
0 2k
，證明如下：
設(shè)
( 1, ) M My
，則：
0
2
M y
k
，
1
1
1 1
M yy
k
x
，
2
2
2 1
M yy
k
x
∵
11
22
1
1
x ky
x ky
，∴
11
22
12
12
x ky
x ky
∴
1 2 1 2
12
1 2 1 2 1 1 2 2
M M M M y y y y y y y y
kk
x x ky ky
1 2 2 1
12
( )( 2) ( )( 2)
( 2)( 2)
MM y y ky y y ky
ky ky
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 2( ) ( ( ) 4)
2 ( ) 4
M ky y y y y k y y
k y y k y y
2
22
8 8 (4 4)
4 8 4
M
M
k k y k
y
kk
∴
1 2 0 2 k k k
為定值
19．本題共14 分
（1）略
（2）證明：集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生數(shù)列
*
{ - 1 , } ji
A m m i j n i j Z 且 ，
- = 1 j i i z
m m m m
且
j mz
，
*
m z Z ，
又
2 m≥
則
1 1 * i z z
m m m Z
∴
1 z
m
與
1 iz
mm
有相同的余數(shù)，
又
1
1 1 = 1 z z z
m m m m m m
，且
1
1* z
mZ
即
1
1 1 1 zz
m m m m
且
1 m
與
m
互質(zhì)
所以集合
23
{} n
A m m m m ， ， ， ，
的衍生數(shù)列屬于
1 m k
（3）證明：對于給定的正整數(shù)
2 m≥
，若整數(shù)
x
被
m
除得的余數(shù)為
i
，
{0 1 1} im ，， ，
，則稱
x
屬于模
m
的剩余類
i
K
．
設(shè)
A
的元素中屬于
i
K
的數(shù)有
0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
個，而集合
{1 2 3 } Bn ，，
的
元素中屬于
i
K
的數(shù)有
' 0 1 2 1 i
n i m ，，， ，
個，則
11
0 1 0
'=
mm
ii
i
n n n
（*1）
易知，對已任意
'
i
i j n ，，
與
'
j
n
至多相差1，且
xy
是
m
的倍數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)
xy ，
屬于模
m
同一個剩余類．對于剩余類
i
K
中的任一對數(shù)
ij
aa ，
，有
ji
m a a
，故屬
于
i
K
中的
i
n
個數(shù)，共作成
2
C i
n
個
m
的倍數(shù)，考慮所有的
i
，則
1
2
1
i
m
n
i
A m C
，
類似得
1
2
'
i
m
n B m C
為了證明本題，只需證
11
22
'
11
ii
mm
nn
ii
CC
≥
，化簡后，即只要證
11
22
11
'
mm
ii
ii
nn
≥
（*2）
據(jù)（*1）易知，若對任意
1 ij
i j n n ，， ≤
，則
0 1 1 m n n n ， ， ，
與
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
就是同一組數(shù)（至多只有順序不同），這時（*2）將取得等號．
若對任意
2 ij
i j n n ，， ≥
，這時將
ij
nn ，
兩數(shù)調(diào)整為
ij
nn ，
，其中
=1 ii
nn
，
=1 jj
nn
，其他元素不變，則
+ = + i j i j
n n n n ，
由于
22 22
+ = + =2 1 0 i j i j i j
n n n n n n ，
，
故調(diào)整后（*2）式左邊的和值將減少，因此（*2）式取得最小值當(dāng)且僅當(dāng)
0 1 1 m n n n ， ， ，
與
0 1 1 ' ' '
m n n n ， ， ，
為同一組數(shù)（至多只有順序不同），即（*2）
成立，因此結(jié)論得證．
