數(shù)   學(xué)（理科）        2014.4

第Ⅰ卷（選擇題  共40分）

一、題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)，集合，，則集合（   ）（A）（B）（C）（D）2. 已知平面向量，，. 若，則實(shí)數(shù)的值為（   ）（A）（B）（C）（D）3．在極坐標(biāo)系中，且與極軸平行的直線方程是（   ）（A）（B）（C）（D）4．執(zhí)行如圖所示的程序框，那么輸出的a值為（   ）

  （A）

（B）

（C）

（D）

5．下列函數(shù)中，對于任意，同時滿足條件和的函數(shù)是（   ）（A）

（C）（B）

（D）

6． “”是“方程表示雙曲線”的（   ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

7．某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬元購進(jìn)一臺新設(shè)備用于生產(chǎn). 第一年需運(yùn)營費(fèi)用2萬元，從第二年起，每年運(yùn)營費(fèi)用均比上一年增加2萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為11萬元. 設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n等于（    ）                           （A）（B）（C）5（D）6

8. 如圖，設(shè)為正四面體表面（含棱）上與頂點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，由點(diǎn)P到四個頂點(diǎn)的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點(diǎn)P有（     ）（A） 4個（B）6個（C）10個（D）14個

第Ⅱ卷（非選擇題  共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．．，其中，則______．. 若拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則_____；的準(zhǔn)線方程為_____．

11．12．表示的平面區(qū)域是一個四邊形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.

13. 科技活動后，3名輔導(dǎo)教師和他們所指導(dǎo)的3名獲獎學(xué)生合影留念（每名教師只指導(dǎo)一名學(xué)生），要求6人排成一排，且學(xué)生要與其指導(dǎo)教師相鄰，那么不同的站法種數(shù)是______. （用數(shù)字作答）

14．中，，，，，，P為線段（含端點(diǎn)）上一個動點(diǎn)，設(shè)，，對于函數(shù)，給出以下三個結(jié)論：

 當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)椋?nbsp;

 ，都有成立；

 ，函數(shù)的最大值都等于4.

其中所有正確結(jié)論的序號是_________.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．

15．13分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. .

（Ⅰ）的大小；

（Ⅱ），，求△ABC的面積.

16．13分）

在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個樣品，并對其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下. 根據(jù)壽命將燈泡分成三個等級，壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.  

壽命（天）頻數(shù)頻率2030050合計（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值；

（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購買了個，如果這n個燈泡的等級恰好與按等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值 

（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機(jī)地購買了個進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購買的燈泡中次品的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．14分）

如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都是矩形，是的中點(diǎn)，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：// 平面；

（Ⅲ）與平面所成的銳二面角的大小為，求的.

18．13分）

已知函數(shù) 其中．

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ），且，都有，求的取值范圍19．14分）

已知橢圓，l與W相交于兩點(diǎn)，與x軸、軸分別相交于、點(diǎn)，. 

（Ⅰ）的方程為，求外接圓的方程；

（Ⅱ）判斷是否存在直線，使得是線段的兩個三等分點(diǎn)說明理由. 20．13分）

在數(shù)列中，. 從數(shù)列中選出項(xiàng)并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項(xiàng)子列. 例如數(shù)列為的一個4項(xiàng)子列.

試寫出的一個3項(xiàng)子列，并使為等差數(shù)列；

（）為的一個項(xiàng)子列，且為等數(shù)列，證明：滿足；

（）為的一個項(xiàng)子列，且為等比數(shù)列，證明：.

．．．．．．．．．．             

11．  ．．．

注：第10題第一問2分，第二問3分. 第14題若有錯選、多選不得分.

三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 

15．13分） 

（Ⅰ）解：因?yàn)?，

      所以 ，                             ……………… 3分

      又因?yàn)?，

所以 .                                              ……………… 5分

（Ⅱ）解：因?yàn)?，，

所以 .                              ………………7分

由正弦定理 ，                                 ………………9分

得 .                                         ………………10分

因?yàn)?，

所以 ，                                     

解得 ， 

因?yàn)?，

所以 .                                           ………………11分

故△ABC的面積.                   ………………13分

16．13分）

（Ⅰ）解：.                                     ……………… 2分

：.         ……………… 4分，

所以的最小值為．                                       ……………… 6分的所有取值為.                                ……………… 7分， ……… 8分3個，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

所以，

，

，

.                            ……………… 11分的分布列為：

0123………………12分的數(shù)學(xué)期望，，. 請酌情給分）

17．14分）

（Ⅰ）證明：因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面是矩形，

所以 ，，

又因?yàn)?，

所以 平面，                                  ………………2分

因?yàn)?平面，

所以 .                                          ………………4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?，

所以四邊形是平行四邊形.                            

連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn). 

在中，因?yàn)�，�?/div>