浙江師范大學碩士研究生入學考試初試科目

考　試　大　綱

科目代碼、名稱:681數(shù)學分析

適用專業(yè):070100數(shù)學（一級學科）、071101系統(tǒng)理論、071400統(tǒng)計學（一級學科）

一、考試形式與試卷結構

（一）試卷滿分 及 考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

試卷由試題和答題紙組成；答案必須寫在答題紙（由考點提供）相應的位置上。

（三）試卷題型結構

全卷一般由九個大題組成，具體分布為

是非判斷題：3小題，每小題6分，共18分

簡答題：2～3小題，每小題6分，共12～18分

計算題：5～6小題，每題8分，約40～48分

分析論述題（包括證明、討論、綜合計算）：6大題，每題10～15分，約70～80分

二、考查目標（復習要求）

 要求考生掌握數(shù)學分析課程的基本概念、基本定理和基本方法，能夠運用數(shù)學分析的理論分析、解決相關問題。

三、考查范圍或考試內容概要

本課程考核內容包括實數(shù)理論和連續(xù)函數(shù)、一元微積分學、級數(shù)、多元微積分學等等。

第一章　實數(shù)集與函數(shù)

1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

2．掌握函數(shù)復合、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及常用特性。

（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）

3．掌握基本初等不等式及應用。

第二章　數(shù)列極限

1．熟練掌握數(shù)列極限的ε-N定義。

2．掌握收斂數(shù)列的常用性質。

3．熟練掌握數(shù)列收斂的判別條件

（單調有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理、Stolz變換等）。

4．能夠熟練求解各類數(shù)列的極限。

第三章　函數(shù)極限

1．深刻領會函數(shù)極限的“ε-δ”定義及其它變式。

2．熟練掌握函數(shù)極限存在的條件及判別。

（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）。。

3．熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數(shù)極限。

4．理解無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮小求極限；

熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。

第四章　函數(shù)連續(xù)性

1．掌握函數(shù)在某點及在區(qū)間上連續(xù)的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。

2．熟悉函數(shù)間斷點及類型。

3．熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三大性質及其應用。

 4．熟練掌握區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的定義、判斷和應用。

5．知道初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章　導數(shù)和微分

1．掌握導數(shù)的定義、幾何意義，領悟其思想內涵；熟悉單邊導數(shù)概念及應用。

2．掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)。

3．熟練掌握復合函數(shù)求導的鏈式法則。

4．掌握參量函數(shù)、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。

5．熟練掌握乘積函數(shù)求導的Leibniz公式。

6．掌握微分的概念，領悟其思想內涵；并會用微分進行近似計算。

7．熟練掌握復合函數(shù)微分及一階微分形式不變性。

 8．理解連續(xù)、可導、可微之間的關系。

9．熟練掌握高階導數(shù)的各種求解方法。

第六章　微分中值定理及其應用

1．熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點 的存在性問題。

2．熟練運用洛必達法則求極限。

3．熟練掌握單調區(qū)間、極值、最值的求法。

4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。

5．掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數(shù)及性質。

6．熟練應用函數(shù)單調性、凹凸性等等工具證明函數(shù)不等式。

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第七章　實數(shù)完備性

1．了解區(qū)間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等等的含義。

2．掌握實數(shù)完備性各定理的具體內容，領悟其證明的思想內涵。

   實數(shù)完備性構成數(shù)學分析的理論核心，其重要性不言而喻。

3．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性定理的證明。

 4．理解上極限、下極限的概念和等價敘述。

第八章　不定積分

1．知道原函數(shù)與不定積分的概念。

2．熟練掌握換元法、分部積分法。

3．會計算有理函數(shù)的積分。

4．會計算三角函數(shù)有理式、某些簡單無理式的積分。

第九章　定積分

1．深刻領會定積分的定義和性質。

2．深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

3．熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。

4．知道可積條件和可積類。

第十章定積分的應用

1．熟練掌握平面圖形面積的計算。

2．熟練掌握旋轉體或已知截面面積的體積。

3．會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

第十一章　反常積分

1．了解反常積分收斂性定義。

2．熟練掌握反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法），重點在無窮積分。

第十二章　數(shù)項級數(shù)

1．知道級數(shù)收斂和發(fā)散的定義、性質。

2．熟練掌握正項級數(shù)收斂的各種判別法。

 （比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等）

3．熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

4．理解條件收斂、絕對收斂級數(shù)的特殊性質。

第十三章　函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)

1．深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的ε-N定義。

2．熟練掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。

3．熟練掌握一致收斂函數(shù)列和一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質。

第十四章　冪級數(shù)

1．掌握冪級數(shù)收斂域、收斂半徑以及和函數(shù)的求法，知道冪級數(shù)的若干性質。

2．熟練掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開的方法。

3．會求冪級數(shù)的和函數(shù)及某些數(shù)項級數(shù)的和。

第十五章　傅里葉級數(shù)

1．熟記以 周期的付里葉系數(shù)公式，會求函數(shù)的傅里葉展式。

2．掌握余弦級數(shù)，正弦級數(shù)的求法。

3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。

4．知道Parseval等式并運用其求某些數(shù)項級數(shù)的和。

第十六章　多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1．了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。

2．掌握二元函數(shù)之二重極限、二次極限的定義和計算。

3．掌握二元函數(shù)連續(xù)性及其性質。

第十七章　多元函數(shù)微分學

1．掌握全微分和偏導數(shù)的概念、了解其幾何性質。

2．會計算偏導數(shù)和全微分，會計算高階偏導數(shù)（尤其是二階偏導數(shù)）。

3．熟練掌握多元復合函數(shù)求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。

4．掌握二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)連續(xù)、可微、可偏導之間的多角關系。

5．知道二元函數(shù)中值定理與Taylor公式。

6．熟練掌握多元函數(shù)極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。

7．了解方向導數(shù)與梯度及其幾何、物理意義。

第十八章　隱函數(shù)定理及其應用

1．理解隱函數(shù)（組）定理。

2．會求隱函數(shù)（組）的微分。

3．會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

第十九章　含參量積分

1．掌握含參量正常積分的定義及性質。

2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質（連續(xù)性、可導性、可積性）。

4．掌握Euler積分并用于計算某些反常積分；

掌握用積分號下求導數(shù)等方法計算某些積分和反常積分。

第二十章　曲線積分

1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數(shù)計算公式。

3．熟練掌握格林公式。

4．掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分式的原函數(shù)。

第二十一章　重積分

1．知道二重積分、三重積分定義與性質，理解分割、求和、取極限三部曲內涵。

2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。

3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換球坐標變換及廣義球坐標變換。

4．知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

第二十二章　曲面積分

1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉換關系。

2．掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。

3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。

注：以上內容凡要求深刻理解、深刻領會、熟練掌握者皆是考試和復習之重點內容。

   要求理解、領會、掌握者重要性相對次之。

參考教材或主要參考書：

1．數(shù)學分析（上、下冊），華東師大編，（2001年后的任意版本），高等教育出版社.

2. 數(shù)學分析解題數(shù)學與方法，楊傳林，浙江大學出版社，2008版。

3. 數(shù)學分析中的典型問題與方法，裴禮文，高等教育出版社。

四、樣卷

見往年試卷。