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二 、填 空 題 : 11.
12.
13. .
14.- 3. 3
15 . 2 3 5 . 三 、解 答 題 :
16.解 (I )由 題 意 知 : ∴
,即 , 又 ,∴ .
(II )
, ,即
題號
∴
.........6分

ìπ 0<B < 2
∵ í 0 < C < π2 , ∴ B + C = 2π
,即  的 取 值 范 圍 是
.
î3 17 .(I )
. ... ... ...12 分 ... ... ... 6 分
∴
(II )
隨機變量 的分布列為
10000
5000
2500
1250
625
P
 所以 期望
.
... ... ...12 分 高三
數(shù)學(理)試題答案 第2頁(共6頁)
1 8 . 解 ( I ) 在 長 方 體 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,C D ⊥ 平 面 B C C 1 B 1 ∴CD ⊥BE , ... ... ...3 分
又∵E 為線段CC1的中點,由已知易得  ∽
,
,
∴BE ⊥ 平 面 B1CD , 又 平面
∴ 平 面 平 面 B1CD .
(II)以D 為坐標原點,建立空間直角坐標系,設AB=
則 A 1  、B 、E
∴
∴
∴
∴
故 B E ⊥ B 1C , 且
... ... ...6 分
、
設 平 面 A 1BE 的 法 向 量 為
∴
則 ,∴
不 妨 令 y = 1 ,又 底 面 A 1B 1C 1D 1 的 法 向 量 為

,∴ .
在 上為增函數(shù),在
故 的取值范圍為 (II )由 (I )得 ,當
... ... ...12 分 ,又a≠0,故 ,
上為減函數(shù),
.........6分
∴
19.解 (I )由
得
當 時,
,即 ∴0<a≤2
∴
當 a < 0 時 ,不 合 題 意
.
時
即
則 ,得
∴ ∴
20 .解 (I )
在  上為增函數(shù),在
.... ... ... 13 分
.
上為減函數(shù),
(II )由 題 意 知 ,當 k 1 = 0 時 ,M 點 的 縱 坐 標 為 0 ,直 線 M N 與 y 軸 垂 直 ,則 N 點 的 縱 坐 標 為 0 , 故k2=k1=0,這與k2≠k1 矛盾.
當 k 1 ≠ 0 時 , 直 線 P M :y = k 1 (x + 2 ) ,
ì()
y=k1 x+2 由í 2
4 4k1 k 21 k 21 1 + 4 k 21
x + y 2 = 1 î4
1
,得( +4)y2- y=0,∴yM=
... ... ... 6 分
∴ M ( 2 - 8 k 21 , 4 k 1 ) , 同 理 N ( 2 - 8 k 2 2 , 4 k 2 ) 1+4k21 1+4k21 1+4k2 1+4k22
由直線MN與y軸垂直,則 4k1 = 4k2 1+4k21 1+4k2
∴4k1k2-4k2k21+k1-k2=0⇒(k2-k1)(4k1k2-1)=0 ∵k1≠k2,∴4k1·k2=1
即 k 1 · k 2 = 14 21 .解 (I )
∴切線方程為: 令 ,得
... ... ... 1 3 分 ,
, ,令 ,得  ,
,設 切 點
... ... ... 6 分 ∵ T n2 = (T n - 1 + 1 )2 ⇒ T n2 - T n2 - 1 = T n - 1 + 1 (n ∈ N ∗ ,n ≥ 2 )
,即  .
( II ) 證 明 : ( 1 ) 先 證 T n2 < T 1 + T 2 + ... + T n - 1 + 1
∴
23n2 2n n 4n2
∴Tn2-Tn2-1=Tn-1+ 1 <Tn-1+ 1 ,(n∈N∗ ,n≥2) n 4n2 n 4n(n-1)
∴Tn2-T21<T1+T2+...+Tn-1+1(1 + 1 +...+ 1 ) 23 n41×22×3n(n-1)
∴Tn2 <T1 +T2 + ... +Tn-1 +1(1-1)+1=T1 +T2 + ... +Tn-1 +1- 1 2 3 n 4 n 4 2 3 n 2 4n
∴ T n2 < T 1 + T 2 + ... + T n - 1 + 1 23n2
( 2 ) 再 證 T 2 + T 3 + ... + T n < T n2 23n
... ... ... 9 分
因 為 n ≥ 2 ,由 T n = T n - 1 + 1 ,得 到 2n
∵Tn2-Tn2-1=Tn-1+ 1 ,且Tn=Tn-1+ 1 , n 4n2 n n 2n2
∴Tn=Tn-1+ 1 =Tn2-Tn2-1- 1 + 1 =Tn2-Tn2-1+ 1 , n n 2n2 4n2 2n2 4n2
∴ T 2 + T 3 + ... + T n = T n2 - T 21 + 1 æ 1 + 1 + ... + 1 ö 23 n 4è2232 n2ø
= T n2 + 1 æ - 1 + 1 + 1 + ... + 1 ö 4è2232 n2ø
由 (1 ) 證 明 可 知 æ 1 + 1 + ... + 1 ö < 1 - 1 < 1 , è2232 n2øn
∴ 當 n ∈ N ∗ 且 n ≥ 2 時 , T 2 + T 3 + ... + T n < T n2 + 1 ( - 1 + 1 ) = T n2 23n4
綜 合 (1 ) (2 ) 得 , 當 n ∈ N ∗ 且 n ≥ 2 時 ,
有T2+T3+...+Tn <Tn2 <T1+T2+...+Tn-1+1 .........13分
23n23n2
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